\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}  %% 1
\usepackage[T2A]{fontenc}      %% 2
\usepackage[russian]{babel}    %% 3
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Олимпиадные задачи - Листок 18}\\
\end{center}

{\bfseries Задача 1}

Парламент 

В парламенте у каждого депутата не более трёх врагов. Докажите, что парламент можно разбить на два комитета так, что у каждого парламентария в его комитете будет не более одного врага. (Считается, что если B — враг A, то и A — враг B.)

{\bfseries Задача 2}

Средняя скорость

Дорога между двумя горными сёлами A и B идёт то в гору, то под гору. Автобус, который развивает среднюю скорость 30 км/ч в гору и 60 км/ч под гору, проехал из A в B и обратно. Какова была его средняя скорость на всём пути?

{\bfseries Задача 3}

Нарушитель

В городе Запрещаевске в метро строго запрещено провозить
предметы, длина, ширина или высота которых превосходит 1 м. Тем
неменее первоклассникуВасе удалось провезти лыжи длиной 1,5 м.Как?

{\bfseries Задача 4}

Гирьки

На шесть внешне одинаковых гирь, массы которых составляют 1 г, 2 г, . . . , 6 г, наклеены таблички с надписями <1 г>, <2 г>, . . . , <6 г>. Как на чашечных весах за два взвешивания определить, правильно ли наклеены таблички?

{\bfseries Задача 5}

Бурьян

Участки садового товарищества занимают площадь 100x100 м, причём размер каждого участка равен одной сотке (10x10 метров). Девять участков нерадивых садоводов поросли бурьяном. Если для некоторого участка в какой-то момент оказалось, что два или более соседних по стороне участка поросли бурьяном, то на следующий год
порастает и он. Докажите, что, тем не менее, все участки садового товарищества бурьяном не зарастут.

{\bfseries Задача 6}

Гномы

За круглым столом сидят семь гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает всё своё молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и т. д. После того, как последний, седьмой гном
разлил всем остальным своё молоко, в каждой кружке оказалось столько же молока, сколько в ней было вначале. Во всех кружках вместе 3 литра молока. Сколько молока было первоначально в каждой кружке?

{\bfseries Задача 7}

Обиженная мать

Молодой человек живёт в Москве возле станции метро. Когда он едет к девушке, то садится в поезд, подходящий к платформе со стороны центра города. Когда же едет к матери, то садится в поезд, идущий в центр. Молодой человек приходит на станцию
каждый день в разное время и садится на первый попавшийся поезд. По каждому из направлений поезда ходят с одинаковым интервалом 3 минуты. Тем не менее, молодой человек бывает в гостях у девушки примерно в 10 раз чаще, чем в гостях у матери. Почему?

{\bfseries Задача 8}

Коням тесно

Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы никакие два не били друг друга?

{\bfseries Задача 9}

Упрямый жучок

Вы держите один конец очень эластичного резинового шну-
ра длиной 1 м. От второго его конца, который закреплён, к вам
со скоростью 1 см/с ползёт жук. Каждый раз, когда он проползает
1 см, вы удлиняете резинку, отступая на 1 метр. Доползёт ли жук
до вашей руки?

{\bfseries Задача 10}

Замощение уголками

Из клетчатой доски размером 2nX2n клеток (n>=1) вырезали одну из клеток. Докажите, что оставшуюся часть можно замостить уголками из трёх клеток.

\end{document}
