\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}  %% 1
\usepackage[T2A]{fontenc}      %% 2
\usepackage[russian]{babel}    %% 3
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Олимпиадные задачи - Листок 8}
\end{center}

{\bfseries Задача 1} 

Расставьте, где это требуется, знаки арифметических действий и скобки, чтобы получить
верные равенства:

а) 4    4    4    4 = 5;

б) 4    4    4    4 = 17;

в) 4    4    4    4 = 20;

г) 4    4    4    4 = 32;

д) 4    4    4    4 = 64;

е) 4    4    4    4 = 48;

ё) 5    5    5    5 = 26;

ж) 5    5    5    5 = 30;

з) 5    5    5    5 = 50;

и) 5    5    5    5 = 55;

й) 5    5    5    5 = 120;

к) 5    5    5    5 = 130;

л) 5    5    5    5 = 625;

м) 5    5    5    5 = 111;

н) 5    5    5    5 = 2;

Решение:

а) (4  +  4  *  4) :  4 = 5;

б) 4  *  4  +  4  :  4 = 17;

в) (4  +  4  :  4 ) *  4 = 20;

г) 4 * 4  +  4 * 4 = 32;

д) (4  +  4) * (4  +  4) = 64;

е) (4  *  4  -  4)  *  4 = 48;

ё) 5  *  5  +  5  :  5 = 26;

ж) (5  +  5  :  5)  *  5 = 30;

з) 5  *  5  +  5  *  5 = 50;

и) (5  +  5)  *  5  +  5 = 55;

й) 5  *  5  *  5  -  5 = 120;

к) 5  *  5  *  5  +  5 = 130;

л) 5  *  5  *  5  *  5 = 625;

м) 5    5    5  :  5 = 111;

н) 5  :  5  +  5  :  5 = 2;

{\bfseries Задача 2}

Использовав ровно пять раз цифру 3, знаки действий и скобки, представьте любое целое число от 0 до 11.
(цифру 3 можно использовать не только в арифметических операциях, но и для составления чисел вида 33, 333, 3333, и т.д.)

Решение

(3-3)*333=0

3:3+(3-3)*3=1

(3+3):3+3-3=2

3+(3-3)*33=3

3:3+3-3+3=4

3:3+3:3+3=5

3+3+(3-3)*3=6

3*3-(3+3):3=7

3+3+(3+3):3=8

3*3-(3-3):3=9

3:3+3+3+3=10

33:3+3-3=11

{\bfseries Задача 3}

Использовав ровно пять раз цифру 5, представьте любое целое число от 0 до 10.

Решение

(5-5)*(5+5+5)=0

5:5+(5-5)*5=1

(5+5):5+5-5=2

(5*5-5-5):5=3

5-5:5+5-5=4

5+(5-5)*(5+5)=5

5+5:5+5-5=6

5+5:5+5:5=7

5+(5+5+5):5=8

(5*5-5):5+5=9

5+5+(5-5)*5=10

{\bfseries Задача 4}

Использовав ровно четыре раза цифру 4, скобки и знаки арифметических действий, представьте любое
число от 0 до 10.

Решение

4+4-4-4=0

4:4+4-4=1

4:4+4:4=2

(4+4+4):4=3

(4-4)*4+4=4

(4+4*4):4=5

4+(4+4):4=6

4+4-4:4=7

4+4+4-4=8

4+4+4:4=9

(44-4):4=10

{\bfseries Задача 5}

Использовав цифру 7 четыре раза, знаки действий и скобки, представьте все числа от 0 до 10.

Решение

77-77=0

7:7+7-7=1

7:7+7:7=2

(7+7+7):7=3

77:7-7=4

7-(7+7):7=5

(7*7-7):7=6

7+(7-7)*7=7

(7*7+7):7=8

7+(7+7):7=9

(77-7):7=10

{\bfseries Задача 6}

Расставьте в записи $4*12  +  18:6  +  3$ скобки, чтобы получилось 

а) число 50

б) наибольшее возможное число

Решение

4*12 + 18:(6 + 3)=48+2=50   

4*(12+18:6+3)=4*18=72

{\bfseries Задача 7}

Ученика написал выражение $6*8  +  20:4  -  2$, значение которого равно 58,
но забыл поставить скобки. Сделайте это за него.

Решение

6*8  +  20:(4  -  2)=58

{\bfseries Задача 8}

Между цифрами 1,2,3,4,5,6,7,8 и 9, написанными в указанном порядке, поставьте знаки сложения и 
умножения так, чтобы полученное выражение имело значение 100. (Использовать скобки нельзя.
Между любыми двумя соседними цифрами должен стоять знак + или *)

Решение

1+2+3+4+5+6+7+8*9=100

{\bfseries Задача 9}

Над озёрами летели гуси. На каждом садилась половина гусей и ещё полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озёрах.
Сколько было гусей?

{\bfseries Задача 10}

В лодке, вмещающей только двух человек, через реку должны переправиться 3 миссионера и 3 каннибала. Миссионеры
боятся остаться на каком-нибудь берегу реки в меньшинстве. Только один миссионер и один каннибал умеют грести.
Помогите им переправиться.

\end{document}
