\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}  %% 1
\usepackage[T2A]{fontenc}      %% 2
\usepackage[russian]{babel}    %% 3
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Олимпиадные задачи - Листок 5}
\end{center}

{\bfseries Задача 1} 

Можно ли прорезать в тетрадном листе бумаги дыру, в которую пролезет взрослый человек?

{\bfseries Задача 2}

<<Простым>> числом называется число, которое делится только на себя и на единицу. Выпишите все простые числа, меньшие 100. Как вы думаете, существует ли самое большое простое число?

{\bfseries Задача 3}

Али-Баба пытается проникнуть в пещеру с сокровищем. У входа в пещеру стоит барабан с четырьмя отверстиями по бокам. Около каждого отверстия внутри поставлен переключатель, имеющий два положения <<вверх>> и <<вниз>>. 

Разрешается засунуть руки в любые два отверстия, пощупать, как стоят переключатели и переключить их произвольным образом (в частности, можно не переключать).

После этого барабан вращается и после остановки нельзя установить, какие именно переключатели переключали в прошлый раз. Разрешается проделать эту операцию до 10 раз. Дверь в пещеру открывается, когда все переключатели в одном положении. Как Али-Бабе попасть в пещеру?

{\bfseries Задача 4}

У коровы 2, у ослика 2, у утки 3, у кошки и собаки 3 , у кукушки 4, а у петуха 8 .Что это?

{\bfseries Задача 5}

Покажите, что сколько бы членов суммы мы ни взяли - мы никогда не перевалим через 2-ку

а) $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}++\frac{1}{8}++\frac{1}{16}+...+\frac{1}{2^n}+...$

Как вы думаете, может ли указанная сумма превысит 1000000 при достаточно большом количестве слагаемых? А 1000000000?

б) $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{n}+...$

{\bfseries Задача 6}

Мартышка поднимается на один из 100 этажей небоскрёба и бросает вниз кокос. Она пытается выяснить, с какого наименьшего этажа нужно бросить кокос, чтобы тот разбился. Каково минимальное число попыток, достаточное для этого, если у мартышки всего два кокоса?

{\bfseries Задача 7}

Проезд в автобусе по билету стоит 23 рубля, а без билета бесплатно. Во сколько раз проезд по билету дороже проезда без билета?

{\bfseries Задача 8}

Двое делят торт на равные части <<по справедливости>>. Из инструментов у них имеется только нож, но нет никакого способа померять точность деления. Поэтому они договариваются <<по справедливости>> так: один режет торт на две части, а другой выбирает себе кусок из двух отрезанных. Как <<по справедливости>> поделить между собой торт троим людям?

{\bfseries Задача 9}

В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что любой город соединён авиалиниями не более, чем с тремя другими, и из любого города в любой другой можно долететь, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее число городов может быть в этом государстве?

{\bfseries Задача 10}

Король решил устроить экзамен трём придворным мудрецам A, B и С. Он сообщил, что у него имеются два белых и три чёрных колпака. После этого король завязал глаза мудрецам и надел каждому чёрный колпак.  Развязав глаза, король спросил: <<Может ли кто-нибудь из вас определить цвет своего колпака?>>

Мудрецы ответили

А: <<Нет, так как могу ошибиться>>

B: <<Нет, так как могу ошибиться>>

C: <<Да, на мне чёрный колпак!>>

Как мудрецу С это удалось?

\end{document}
