\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}  %% 1
\usepackage[T2A]{fontenc}      %% 2
\usepackage[russian]{babel}    %% 3
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Олимпиадные задачи - Листок 4}
\end{center}

{\bfseries Задача 1} 

Вычислить сумму $$1+2+3+4+5+6+7+...+97+98+99+100$$

{\bfseries Задача 2}

В некотором царстве, в некотором государстве есть десять источников с мёртвой водой (№ 1, 2, ... , 10), которая по вкусу не отличается от обычной, но является сильным ядом (смертельным даже для Кащея Бессмертного). Противоядием для воды из любого источника является вода из источника с большим номером (для воды из источника № 10 противоядия нет). Источники № 1, ... , 9 общедоступны, источник № 10 доступен лишь Кащею.

Иван вызвал Кащея на дуэль, предложив обменяться стаканами с мёртвой водой и выпить её. Кащей, конечно, согласился, предложив Ивану воды из источника № 10 и рассчитывая принять её в качестве противоядия. Однако Иван остался жив, а Кащей умер. Как Ивану это удалось?

{\bfseries Задача 3}

Соединить три верёвочных кольца так, что они все зацеплены между собой в единую конструкцию 
(т.е. можно взять эту конструкцию за любое кольцо и она не рассыплется), но если разрезать любое из 3-х колец,
то оставшиеся два кольца окажутся несоединёнными. 

{\bfseries Задача 4}

Отгадайте закономерность

$$101 - 1$$
$$181 - 2$$
$$286 - 3$$
$$898 - ?$$

{\bfseries Задача 5}

Три охотника сварили кашу. Первый дал две кружки крупы, второй - одну, третий - ни одной, но он расплатился пятью патронами. Как должны поделить патроны первые два охотинка?

{\bfseries Задача 6}

Король решил устроить проверку своим ста мудрецам и сообщил, что на следующий день он выстроит всех с завязынными глазами в очередь и наденет каждому чёрный или белый колпак. После того, как глаза будут развязаны, каждый, начиная с последнего в очереди, назовёт предполагаемый цвет своего колпака. Если он при этом не угадает, то будет казнён. 
У мудрецов ещё есть время договориться, как они будут действовать завтра. Скольким мудрецам наверняка удастся спастись?

\end{document}
