\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}  %% 1
\usepackage[T2A]{fontenc}      %% 2
\usepackage[russian]{babel}    %% 3
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE СЛОЖНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ(**)}
\end{center}

\begin{center}
{\LARGE  - ЛИСТОК 15}
\end{center}

{\bfseries 1. Метод неопределённых коэффициентов}

№1 Простые

Дано: 

$
\begin{cases}
x+y+z=13,\\
7x+3y=-9;\\
\end{cases}
$

Найти: $5x+y-2z$

№2 Сложные

$
\begin{cases}
\frac{s}{x-y+2z+3w+t}=1,\\
\frac{s}{2x+y+z-w-2t}=\frac{1}{2},\\
\frac{s}{-x+2y-z+2w+t}=\frac{1}{3};\\
\end{cases}
$

Найти: $\frac{s}{6x-3y+3z-11w-8t}$

{\bfseries 2. Деление и замена (когда ищем частное)}

Дано:

$
x>0, y>0, S>0
\begin{cases}
\frac{S}{y}+1=\frac{S}{x},\\
y+2x=\frac{7S}{6};\\
\end{cases}
$

Найти: $\frac{x}{y}$

{\bfseries 3. Особые 3-уравнения}

Дано:

$
x,y,z,t,S>0
\begin{cases}
tx=(t-2)y=(t-\frac{5}{2})z,\\
\frac{S}{x}-\frac{7}{2}=\frac{S}{z};\\
\end{cases}
$

{\bfseries 4. Подлые отношения}

Дано:

$
x,y \ne 0, z>0
\begin{cases}
\frac{\frac{3}{8}x+\frac{2}{5}z}{\frac{5}{8}x+\frac{1}{3}y}=\frac{3}{5},\\\\
\frac{\frac{3}{8}x+\frac{2}{5}z}{\frac{2}{3}x+\frac{3}{5}z}=\frac{3}{2};\\
\end{cases}
$

Найти: $\frac{xz}{y^2}$

{\bfseries 5. Использование формулы $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$}

$
\begin{cases}
(x+y)^2-z^2=4,\\
(y+z)^2-x^2=2,\\
(z+x)^2-y^2=3;\\
\end{cases}
$

$
\begin{cases}
x^2+2yz=1,\\
y^2+2xz=2,\\
z^2+2xy=1;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 6. Вычитание с целью разложения на множители}

$
\begin{cases}
2x=\frac{y}{1+y^2},\\
2y=\frac{x}{1+x^2};\\
\end{cases}
$

{\bfseries 7. Вычитание, чтобы осталось уравнение, зависящее только от одной переменной}

$
\begin{cases}
xy+3y^2-x+4y-7=0,\\
2xy+y^2-2x-2y+1=0;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 8. Существование дискриминанта}

$
\begin{cases}
x^2-2xy+2y^2+2x-8y+10=0,\\
2x^2-7xy+3y^2+13x-4y-7=0;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 9. Замены с корнями}

$
\begin{cases}
\sqrt{-1-x}-\sqrt{2y-x}=1,\\
\sqrt{1-2y}+\sqrt{2y-x}=4;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 10. Убийственная подстановка}

$
\begin{cases}
y^2-4xy+4y-1=0,\\
3x^2-2xy-1=0;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 11. Кажется, что подстановка или деление, а на самом деле
сложение и вычитание}

$
\begin{cases}
xy+\frac{y}{x}=2(x^2+y^2),\\
xy-\frac{x}{y}=x^2+y^2;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 12. Деление или умножение применяется чаще всего  (но не всегда!),
когда уравнения системы содержат общие (одинаковые) части, которые исчезнут после
деления/умножения}

а) Если умножаем - ОДЗ расширяется - необходимо делать проверку

б) Если делим - ОДЗ сужается - отдельно проверять случаи, когда делитель равен 0

Решить систему двумя способами (делением и умножением)

$
\begin{cases}
8x+\frac{8}{y}=3y^2,\\
y+\frac{1}{x}=3x^2;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 13. Пример, где необходимо по ходу делить и числитель и знаменатель на $y^2(x^2)$}

$
\begin{cases}
(x+y)(x+2y)(x+3y)=60,\\
(y+x)(y+2x)(y+3x)=105;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 14. Замену делать всегда по максимуму}

$
\begin{cases}
\frac{1}{x^2+y^2}+2xy=\frac{21}{5},\\
\frac{1}{2xy}+x^2+y^2=\frac{21}{4};\\
\end{cases}
$

{\bfseries 15. Отношение неизвестных в системе 3-х X<-->Y<-->Z}

$
\begin{cases}
x^3=yz,\\
y^3=zx,\\
z^3=xy;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 16. Теорема Виетта}

Для квадратного уравнения

$
\begin{cases}
x+y=a,\\
xy=b;\\
\end{cases}
\Leftrightarrow
$
существует уравнение такое, что 
$t^2-at+b=0,$ где $ t_1, t_2$ - корни исходной системы

Для кубического уравнения

$
\begin{cases}
x+y+z=a,\\
xy+yz+zx=b,\\
xyz=c;\\
\end{cases}
\Leftrightarrow
$
существует уравнение такое, что 
$t^3-at^2+bt-c=0,$ где $ t_1, t_2, t_3$ - корни исходной системы

Задачи

1)
$
\begin{cases}
x+y+z=6,\\
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{2},\\
xyz=8;\\
\end{cases}
$

2)
$
\begin{cases}
\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=3,\\
\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}=3,\\
x+y+z=3;\\
\end{cases}
$

3)
$
\begin{cases}
x+y+z=1,\\
xy+yz+zx=-4,\\
x^3+y^3+z^3=1;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 17. Неочевидные вычитания}

$
\begin{cases}
x^2+xy+y^2=37,\\
x^2+xz+z^2=28,\\
y^2+yz+z^2=19;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 18. Перевороты}

$
\begin{cases}
\frac{xy}{x+y}=\frac{2}{11},\\
\frac{xz}{x+z}=\frac{1}{9},\\
\frac{yz}{y+z}=\frac{2}{17};\\
\end{cases}
$

{\bfseries 19. Для решения системы решить нерешаемое уравнение 3-ей степени}

$
\begin{cases}
x^2+y^2=1,\\
x^5+y^5=1;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 20. Система 2-х уравнений с 3-мя неизвестными. Система 3-ей степени.}

$
\begin{cases}
2x^3+x^2(24-2y-2z)+x(80-yz-10y-10z)+65-9y-9z-4yz=0,\\
2x^3+x^2(14-2y-2z)-x(4+yz)-30+5y+5z+yz=0;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 21. Ограниченность}

$
\begin{cases}
x^2y^2-2x+y^2=0,\\
2x^2-4x+3+y^3=0;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 22. Проверить неравенство}

Дано:

$
v,w,S>0
\begin{cases}
5v+5(w-v)=S,\\
\frac{S}{w-v}+\frac{S}{w+v}=\frac{S}{v};\\
\end{cases}
$

Верно ли, что $\frac{S}{v}\le12$

\end{document}