\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}  %% 1
\usepackage[T2A]{fontenc}      %% 2
\usepackage[russian]{babel}    %% 3
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ}
\end{center}

\begin{center}
{\LARGE  - ЛИСТОК 13}
\end{center}

{\bfseries 1. Подстановка вместо выражения}

$
\begin{cases}
(x+2y)(2x-y+1) = 6,\\
\frac{2x-y+1}{x+2y}=\frac{2}{3};\\
\end{cases}
$

{\bfseries 2. Замена буквенной части одного уравнения числовой частью другой}

$
\begin{cases}
x+y=3,\\
x^3+x^2y=12;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 3. Обыкновенный метод подстановки (с учётом выбора степени)}

$
\begin{cases}
x+y^3=2,\\
2x+x^2+5y^3=8;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 4. Следствие и равносильность}

I. Не допускается одновременное умножение и сложение

$
\begin{cases}
x=2,\\
y=3;\\
\end{cases}
$
$\Rightarrow$
$
\begin{cases}
xy=6,\\
x+y=5;\\
\end{cases}
$

Приобретаются лишние решения, необходимо делать проверку

II. Системы равносильны в том случае, если новая система содержит одно
уравнение исходной системы (для систем 2-х уравненией). 

$
\begin{cases}
x=2,\\
y=3;\\
\end{cases}
$
$\Leftrightarrow$
$
\begin{cases}
x+y=5,\\
y=3;\\
\end{cases}
$

III. Однако допускается одновременное почленное вычитание и умножение.

$
\begin{cases}
x-y=2,\\
x^2-y^2=8;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 5. Сложение ради ликвидации ряда переменных. Эффективно в
системах, где общая степенб уравнение $\ge$ 2, а уравнения не являются
однородными (очень разнообразно применяемый метод)}

$
\begin{cases}
12x^2+2y^2-6x+5y=3,\\
18x^2+3y^2-6x+8y=7;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 6. Простое деление}

$
\begin{cases}
x^3+xy^2=10,\\
y^3+x^2y=5;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 7. Из системы в совокупность (свойства систем)}

$
\begin{cases}
x^2+xy=6x,\\
x^2+y^2=3(x+y);\\
\end{cases}
$

{\bfseries 8. Системы уравнений с модулями, где можно произвести замену
$y^2=|y|^2$, т.к. в них есть квадраты (чётные степени)}

$
\begin{cases}
|x|+y^2=13,\\
x+|y|=-1;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 9. Системы уравнений с модулями - общий метод}

$
\begin{cases}
|x|+y^2=13,\\
x+|y|=-1;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 10. Не забыть о решениях в системах уравнений с модулями вида}

$
\begin{cases}
|b|=x,\\
|a|=y;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 11. Сложение ради получения многочленов, которые можно
преобразовать в n-ую степень суммы (в данном случае в куб)}

$
\begin{cases}
x^3+y^3=7,\\
x^2y+xy^2=-2;\\
\end{cases}
$

$
\begin{cases}
x^4+6x^2y^2+y^4=136,\\
x^3y+xy^3=30;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 12. Оригинальное деление (с предварительным разложением
на множители)}

Замечание: В данном случае мы ипользуем деление, т.к.

1) Уравнение неоднородное

2) Сложением нельзя ликвидировать квадраты

3) Системы несимметричные

4) Метод подстановки неприменим так, чтобы осталась одна переменная в уравнении

$
\begin{cases}
x^2-x+1=y,\\
y^2-y+1=x;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 13. Системы уравнений с ответами, которые целиком или частично
принадлежать R}

$
\begin{cases}
x-xy=0,\\
xy-xy^2=0;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 14. Разложение квадратных трёхчленов, содержащих буквенные значения}

$
\begin{cases}
2x^2-xy-3y^2+x+y=6,\\
2x^2-5xy+3y^2+x-y=2;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 15. Сложение для получения квадратного уравнения сразу относительно двух переменных}

$
\begin{cases}
x+xy+y=5,\\
x^2+xy+y^2=7;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 16. Симметрические системы уравнений}

Симметрическими называются такие системы, в которых из обоих уравнений системы
при замене переменных друг на друга смысл их не меняется.

Симметрическая (оба уравнения системы симметрические)

$
\begin{cases}
x^2+xy+y^2=5,\\
y^8x^8-3xy=1;\\
\end{cases}
$

Несимметрическая (2-ое уравнения симметрическое,а первое - нет. Система несимметрическая)

$
\begin{cases}
x^2-x+y=3,\\
xy=8;\\
\end{cases}
$

Для решения симметрических систем применяются специфические замены переменных

$
\begin{cases}
u=x+y,\\
v=xy;\\
\end{cases}
$

Следует выделить следующие частные случаи

1) $x^2+y^2$

2) $x^3+y^3$

3) $x^4+y^4$

4) $x^8+y^8$

5) $x^5+y^5$

Задача

$
\begin{cases}
x^3+y^3+2x^2y+2xy^2=21,\\
2x^3+2y^3+x^2y+xy^2=24;\\
\end{cases}
$

Замечание: в ответах симметричных систем числа также симметричны

{\bfseries 17. Симметрические системы с модулями (случай с чётными степенями)}

$
\begin{cases}
|x|+|y|=1,\\
x^2+y^2=\frac{1}{2};\\
\end{cases}
$

{\bfseries 18. Сложение уравнений, разложенных на сопряжённые множители}

$
\begin{cases}
(x+xy^2+y^2)(x+y^2)^2=225,\\
(x-xy^2+y^2)(x+y^2)^2=25;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 19. Сложное деление}

$
\begin{cases}
2x^4=3x^2y+20,\\
3y^2=2x^2y-5;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 20. Умножение}

$
\begin{cases}
2x^4=3x^2y+20,\\
3y^2=2x^2y-5;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 21. Метод симметрической подстановки в несимметрическую систему}

$
\begin{cases}
xy+x-y=7,\\
x^2y-xy^2=6;\\
\end{cases}
$

$
\begin{cases}
x-y=1,\\
x^2+xy+y^2=7;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 22. Решение одного уравнения системы относительно промежуточной функции f, не прибегая ко 2-ому}

$
\begin{cases}
(xy)^2+xy=6,\\
(\frac{x}{y})^2+(\frac{x}{y})^3=12;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 23. Разложение на множители путём выделения полного квадрата 
(чтобы иметь возможность делить)}

$
\begin{cases}
x^4+4y^4-5x^2y^2=45,\\
x^2+2y^2+3xy=15;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 24. Метод разложения на множители путём деления многочлена на многочлен}

$
\begin{cases}
x+xy+xy^2=6,\\
x^2+x^2y^2+x^2y^4=12;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 25. Однородные системы (системы, где хотя бы одно уравнение из
двух является однородным, т.е. все слагаемые в нём имеют одинаковую степень)}

$
\begin{cases}
2x^2-3xy+y^2=0,\\
y^2-x^2=12;\\
\end{cases}
$

Замечение: Свойство однородности разбивают одно их уравнений системы на 
множители, а справа находится 0, что позволяет разбить систему на совокупность
2-х систем

{\bfseries 26. Почти однородные уравнения (приводимые к однородным)}

$
\begin{cases}
2x^2-3xy+3y^2=80,\\
x^2+xy-2y^2=-56;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 27. Однородное 3-ьей степени}

$
\begin{cases}
x^3-y^3=7,\\
2x^2y-xy^2=6;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 28. Приведение к почти-однородным}

$
\begin{cases}
\frac{3x-9y}{x+y}+\frac{2x+y}{x-y}=4,\\
x^2-y^2=48;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 29. Случай, когда общий ответ поглощает частный}

Совокупность

$
\begin{cases}
x^2+xy+y^2-3=0,\\
x=y;\\
\end{cases}
$

$
\begin{cases}
x=y,\\
y=x;\\
\end{cases}
$

{\bfseries 30. Одинокое квадратное уравнение}

$x^2+2xy+4y^2=0$

\end{document}