\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}  %% 1
\usepackage[T2A]{fontenc}      %% 2
\usepackage[russian]{babel}    %% 3
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С МОДУЛЕМ}
\end{center}

\begin{center}
{\LARGE  - ЛИСТОК 11}
\end{center}

{\bfseries 1. Неравенство вида |a|<b}

$
|a|<b
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a < b,\\
a > -b;\\
\end{cases}
\Leftrightarrow
-b<a<b
$

Задачи

1) $|2x-3|<x-6$

2) $|2x+5|<7-x$

3) $|x^2-5x|<6$

4) $x^2+2|x+3|-10\le0$

5) $|\frac{3x}{x^2-4}|\le1$

{\bfseries 2. Неравенство вида |a|>b}

$
|a|>b
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a > b,\\
a < -b;\\
\end{cases}
$

Задачи

1) $3x+|2-x|\ge5$

2) $|3x-2|+x>4$

3) $|2x^2-9x+15|\ge20$

4) $|x^2-1|-2x>0$

5) $|\frac{2x-1}{x-1}|>2$

{\bfseries 3. Неравенство вида |a|<-b, b>0}

$
\begin{cases}
|a|<-b,\\
b>0;\\
\end{cases}
\Leftrightarrow
\oslash
$

{\bfseries 4. Неравенство вида |a|>-b, b>0}

$
\begin{cases}
|a|>-b,\\
b>0;\\
\end{cases}
\Leftrightarrow
R
$

{\bfseries 5. Замена переменной для сведения к квадратному трёхчлену}

$X^2=|X|^2$

Задачи

1) $x^2-5|x|+4 \le 0$

2) $x^2+|x|-6 > 0$

3) $\frac{5-|x|}{x^2+|x|-2}\ge\frac{|x|-5}{x^2-1}$ 

I) способ: полностью решаем для замены - и в конце обратную замену

II) способ: решаем для замены до разложения на множители - и обратная замена

{\bfseries 5. Неравенства, содержащие одни только два подмодульных выражения}

$
|a| \vee |b|
\Leftrightarrow
a^2 \vee b^2
\Leftrightarrow
a^2 - b^2 \vee 0
\Leftrightarrow
(a-b)(a+b) \vee 0 
$

Задачи

1) $|2x^2-3x-1|>|x^2-2x-1|$

2) $|x+3|\le|2x^2+x-5|$

{\bfseries 6. Промежутки (общий метод). В данном метода по очереди 
рассматриваются все случаи существования модуля}

Примечание: числа принято брать 1 раз в квадратные, 1 раз в круглые скобки. Один
раз в квадратные брать надо обязательно. Два раза не принято, но - это не ошибка.

Задачи

1) $|x-1| + |x+2| \le 3$

2) $\frac{|x-3|}{x^2-5x+6}\ge2$

{\bfseries 7. Выражение, содержащее переменную под двумя и более модулями}

Задачи

1) $|2x+1-|3x+1|| \le x+2$

2) $||x^2+3x-8|-x^2|\ge8-x$

{\bfseries 8. Разные неравенства с модулями}

1) $\frac{x^2-5x+6}{|x|+7}<0$

2) $\frac{|x-2|}{x-2}\ge0$

3) $\frac{2}{\sqrt{x^2-8x+16}}>1$

4) $x^2-8x-\frac{3}{|x-4|}+18\le0$

5) $|x^2-9|(x^2-7|x|+10)<0$

6) $\sqrt{x^2-4x+4}+(\sqrt{3x^2-5x-1})^2\ge1$

7) $|x^2-6x+9|<2x-6$

8) $|x^2+2x| \le x$

\end{document}