\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}  %% 1
\usepackage[T2A]{fontenc}      %% 2
\usepackage[russian]{babel}    %% 3
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ}
\end{center}

\begin{center}
{\LARGE  - ЛИСТОК 10}
\end{center}

{\bfseries 0. Что можно делать с неравенствами}

1)	Домножать на положительное число 

(знак неравенства прежний)

ax<b, |*c, c>0

cax<bc

2) Делить на положительное число 

(знак неравенства прежний)

cax<bc, |:c, c>0

ax<b

3)	Домножать на отрицательное число 

(знак неравенства меняется на противоположный)

ax<b, |*c, c<0

cax>bc

4)	Делить на отрицательное число 

(знак неравенства меняется на противоположный)

cax>cb, |:c, c<0

ax<b

5)	Возведение в нечётную степень 

(знак неравенства прежний)

ax<b

$a^5x^5<b^5$

6)	Извлекаем корни нечётной степени

(знак неравенства прежний)

$a^5x^5<b^5$

ax<b

7)	Возведение в чётную степень - возможно только, если обе части уравнения обязательно больше или равны нулю

(знак неравенства прежний)

$$ 
\begin{cases}
ax<b;\\
ax \ge 0;\\
b \ge 0;\\
\end{cases}
\Leftrightarrow 
\begin{cases}
a^2x^2<b^2;\\
ax \ge 0;\\
b \ge 0;\\
\end{cases}
$$ 

8)	Извлекаем корни чётной степени - возможно только, если обе части уравнения обязательно больше или равны нулю

При извлечении корня чётных степеней обязательно ставить модуль

(знак неравенства прежний)

$$ 
\begin{cases}
a^2x^2<b^2;\\
a \ge 0;\\
b \ge 0;\\
\end{cases}
\Leftrightarrow 
\begin{cases}
|ax|<|b|;\\
a \ge 0;\\
b \ge 0;\\
\end{cases}
$$ 

9)	Делить или умножать можно только на выражение постоянного знака, отличное от нуля 
$(:a^2, *a^2, :\sqrt{a}, *\sqrt{a})$

10) $A \ne B$ - неравенство

$A*B \ne 0 <\ne>$ совокупности: $a \ne 0$ или $b \ne 0$, потому что

при $a \ne b$ данная совокупонсть $\Leftrightarrow$ R 

(множеству всех действительных чисел)

11) Можно прибавлять выражение (число), О.Д.З. которого не уже,
чем у исходного неравенства

A>B

A+C>B+C

Например, вот так нельзя!

$
x>5
\Leftrightarrow  
x+\sqrt{7-x}>5+\sqrt{7-x}
$

{\bfseries 1. Линейные неравенства}

x+3>0;

x>-3;

$x \in (-3;\infty +)$

{\bfseries 2. I метод решения нелинейных неравенств - обыкновенный метод интервалов}

а) Обозначаем О.Д.З.

Замечание: у всех рациональных неравенств О.Д.З. R

б) Раскладываем на множители и 0 справа

в) Расставляем знаки и определяем искомые промежутки

{\bfseries 3. Правила чередования знаков}

1) Знаки в неравенстве чередуются

2) Первый знак определяется 

а) либо подстановкой в неравенство очень большого положительного числа

б) либо перемножением знаков коэффициентов при X

3) Никогда не стоит забывать о возможных одиночных значениях неизвестной
величины, если неравенство нестрогое. Если таких значений несколько, то
они записываются так: $\{a;b;c\} \cup (...)$ 

4) В зависимости от поведения квадратичных неравенств, ответ может быть
как $\oslash$, так и R

а) $x^2-8x+17 \le 0$

$D=64-4*17<0 \Leftrightarrow \oslash$

Ответ: $\oslash$

б) $x^2+4x+7 \ge 0$

$D=16-4*17<0 \Leftrightarrow \oslash$

Ответ: R

5) Если в качестве множителей выступает выражение в чётной степени или под знаком модуля, то при переходе через это выражение при выставлении знаков
знак не меняется

$(x+3)^2*|x-5|*(x-6)*(13-x) \ge 0$

Ответ: $x \in [6;13] \cup  \{-3;5\}$

6) Числа типа $x^2+5$ корней не дают и при случае могут повлиять только
на знак. Точно так же, как и $x^2 \pm xy + y^2$ (неполный квадрат)

{\bfseries 4. Важные частные случаи}

$a^2 \ge 0 \Leftrightarrow a \in R $ (неверно $a \ge 0$)

$a^2 < 0 \Leftrightarrow a \in \oslash $ (неверно $a \le 0$)

$a^2 > 0 \Leftrightarrow a \ne 0 $ 

$a^2 \le 0 \Leftrightarrow a = 0 $ 

{\bfseries 5. Дробно-рациональные неравенства}

1) Тут необходимо помнить об О.Д.З. (знаменатель не равен нулю)

$\frac{(x-3)(5-x)}{(x+2)} \ge 0$

2) Следует помнить о возможности повторения множителей в числителе и в 
знаменателе, что по свойствам равносильно чётной степени (знак не меняется).

$\frac{(x-6)(x+6)}{(x-6)(x-3)} \le 0$

Также следует помнить о том, что в таких случаях корень соответствующих
чисел не равен нулю.

3) Ответ может быть записан в виде двойных неравенств

Ответ: $x \in (-5;\frac{1}{2}) \cup [2;3) \cup (3;+\infty)$ равносилен

$-5<x<\frac{1}{2}, x\ge2, x\ne3$ или

$-5<x<\frac{1}{2}, 2 \le x < 3, x>3 $

{\bfseries 6. Системы и совокупности неравенств}

1) Решая систему неравенств с одной переменной, находим пересечение 
промежутков, предварительно решив каждое неравенство системы

Задача:

$y=\frac{x-13}{x^2+x-6}, 0 \le y \le 1$, что означает

2) Решая совокупность неравенств с одной переменной, находим объединение
промежутков, решив каждое неравенство в отдельности

$9x^2-4x-5<0$

$\frac{5x-2}{3-2x} \le 1$

Ответ: $(-\infty;1) \cup (\frac{3}{2};+\infty)$

3) Следует помнить о вырожденных случаях

а) 
$ 
\begin{cases}
x-3 > 0, \\
R;\\
\end{cases}
$
решениями служат решения первого неравенства

б)
$ 
\begin{cases}
x-3 > 0, \\
\oslash;\\
\end{cases}
$
Решение: 
$
\oslash
$

в)

x-3>0

R

Решение: R

г) 

x-3>0

$\oslash$

Решениями служат решения первого неравества

4) Задания с экстремальными значениями

а) $max\{\frac{1}{x};5x-4\}\ge x^2$ 

или 

найдите все значения X при которых 
большее из двух выражений $\frac{1}{x}$ и $5x-4$ не меньше, чем $x^2$

б) $min\{1-x^2;\frac{1-x}{2}\}\ge \frac{1}{2}$ 

или 

найдите все значения X при которых 
меньшее из двух выражений $1-x^2$ и $\frac{1-x}{2}$ не меньше, чем $\frac{1}{2}$

в) $max\{x^2+2x;\frac{-x}{2}\}\le \frac{1}{2}$ 

или 

найдите все значения X при которых 
большее из двух выражений $x^2+2x$ и $\frac{-x}{2}$ не больше, чем $\frac{1}{2}$

г) $min\{x^2-2x-3;x-3\}\le -4$ 

или 

найдите все значения X при которых 
меньшее из двух выражений $x^2-2x-3$ и $x-3$ не больше, чем $-4$

{\bfseries 7. Общий метод интервалов}

1) Определить О.Д.З.

2) Найти корни

3) Нанести корни на О.Д.З. и подсчитать знак в каждом интервале

{\bfseries 8. По смыслу неравенства}

Если неравенство состоит из произведения ОЧЕНЬ !!! сложных функций
и это произведение сравнивается с нулём, то имеют место отношения:

$$
\frac{f(x)}{g(x)} \ge 0
\Leftrightarrow
\begin{cases}
f(x) \ge 0, \\
g(x) > 0;\\
\end{cases}
\begin{cases}
f(x) \le 0, \\
g(x) < 0;\\
\end{cases}
$$

$$
\frac{f(x)}{g(x)} \le 0
\Leftrightarrow
\begin{cases}
f(x) \le 0, \\
g(x) > 0;\\
\end{cases}
\begin{cases}
f(x) \ge 0, \\
g(x) < 0;\\
\end{cases}
$$

{\bfseries 9. Основные опорные неравенства}

1) Неравенство о двух взаимообратных числах $|a+\frac{1}{a}| \ge 2$

$$
|a+\frac{1}{a}| \ge 2
$$

$$
|a+\frac{1}{a}|=2
\Leftrightarrow
a=\pm 1
$$

2) Неравенство Коши $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Обобщение $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$

3) Неравенство Треугольника $|a+b| \le |a|+|b|$ 

Обобщение $|a_1+a_2+...+a_n| \le |a_1|+|a_2|+...+|a_n|$

4) $a^2+b^2 \ge 2ab$

5) $a^3+b^3 \ge ab(a+b)$

\end{document}