\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}  %% 1
\usepackage[T2A]{fontenc}      %% 2
\usepackage[russian]{babel}    %% 3
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЯМИ - ЛИСТОК 9}
\end{center}

{\bfseries 1. Определение модуля}

$$
|x|=\begin{cases}
x, &\text{если $x>0$;}\\
0, &\text{если $x=0$;}\\
-x, &\text{если $x<0$.}\\
\end{cases}
$$

{\bfseries 2. Свойства модуля}

а) |a*b|=|a|*|b|

б) $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$

в) $|a+b|\leq|a|+|b|$

г) $|a-b|\geq||a|-|b||$

д) $|a|=|-a|$

е) $|a|^2=a^2$
                                           
ж) $|a|=0 \Leftrightarrow a=0$

з)
$ 
|a|+|b|=0 \Leftrightarrow \begin{cases}
a=0,\\
b=0.
\end{cases}
$

{\bfseries 3. Когда знак модуля в уравнении один}

Алгоритм

$$ 
|a|=b \Leftrightarrow \begin{cases}
b\geq0;\\
\Big\| a=b;\\
\Big\| a=-b;\\
\end{cases}
$$ 

1) $|2x-1|=5$

2) $|2-3x|=1$

3) $|1-2x-x^2|=1$

4) $|2x-5|=x-1$

5) $|x+2|=2(3-x)$

6) $|x^2+4x+2|=\frac{5x+16}{3}$

7) $|1+x-x^2|+4=2x^2+x$

8) $|3x^2+5x-4|=2x-1$

9) $|x-2|=2-x$

10) $|x^2-x-2|=x+2-x^2$

{\bfseries 3. Замена переменной для приведения к квадратному уравнению}

$$x^2=|x^2|$$

1) $x^2-7|x|+6=0$

2) $(x+3)^2-|x+3|-30=0$

3) $x^2+2x+2|x+1|=7$

4) $4x^2-12x-5|2x-3|+15=0$

5) $x^4+4x^3=30-7|x^2+2x|-4x^2$

{\bfseries 4. Когда модуль равен модулю}

$$
|a|=|b| \Leftrightarrow 
\begin{array}{rcl}
&\Big\| &a=b;\\
&\Big\| &a=-b;
\end{array}
$$

Толкование:

1 способ: по схеме задачи I

2 способ: Возведение в квадрат и - разность квадратов.

1) $|3x^2-3x+5|=|2x^2+6x-3|$

2) $|x+5|-|x-3|=8$

3) $|x-1|-2|x-2|+3|x-3|=4$

4) $x^2-5x-6\frac{|x|}{x}=0$

5) $x^2-4x\frac{|x-\pi|}{x-\pi}+2=0$

{\bfseries 5. Общий тип уравнения с модулем}

Замечание1: желательно до начала решения сделать, если надо
$|b-ax|=|ax-b|$ для удобства в раскрытии модулей

Замечание2: если решения, найденные на данном промежутке, к нему
не принадлежат, то в ответ они не включаются

1) $|2x+1|+|5-3x|+1-4x=0$

{\bfseries 6. Модуль внутри модуля}

$$
||a||=c \Leftrightarrow 
\begin{cases}
c\geq0;\\
\Big\| |a|=c;\\
\Big\| |a|=-c;\\
\end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}
c\geq0;\\
\Big\| \Big\| a=c;\\
\Big\| \Big\| a=-c;\\
\Big\| \oslash\\
\end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}
c\geq0;\\
\Big\| a=c;\\
\Big\| a=-c;\\
\end{cases}
$$

1) $||x-1|-3|=2$

{\bfseries 7. Дробно-рациональные уравнения с модулями}

1) Найти сумму целых решений

$\frac{5-|6-x|-|x-1|}{|x^2-9x+18|}=0$

{\bfseries 8. Следует помнить и об известной разнице между $\sqrt{x^2}$ и $(\sqrt{x})^2$}

1) $x^2+\sqrt{x^2}-2=0$

2) $x^2+(\sqrt{x})^2-2=0$

{\bfseries 9. Не обращать внимания на МНИМОЕ СХОДСТВО частей уравнения, решать по стандартной схеме}

1) $|x^2-1|+x+1=0$

{\bfseries 10. Решение уравнений с двойными модулями общим методом}

1) ||2x-1|-5|+x=|6-x|

\end{document}