\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}  %% 1
\usepackage[T2A]{fontenc}      %% 2
\usepackage[russian]{babel}    %% 3
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ - ОБЩИЙ ВИД}
\end{center}
\begin{center}
{\LARGE Листок 7}
\end{center}

{\bfseries 1. Выделение полного куба}

Квадратные уравнения решаются выделением полного квадрата, попробуйте решить уравнения 3-ей степени
выделением полного куба.

{\bfseries 2. Метод Тартальи-Кардано и комплексные числа}

Дано уравнение 3-ей степени

$$A_0x^3+A_1x^2+A_2x^1+A_3=0$$

Цель: Суть метода Тартальи -избавиться от слагаемого при $x^2$, чтобы кубическое уравнение стало неполным

Подсказки:

1) Сделать уравнение приведённым (поделить на коэффициент при старшей степени)

2) Сделать замену $x=y+h$, подберите $h$ так, чтобы слагаемое при $y^2$ занулилось

3) Сделать двупараметрическую замену $y=\alpha+\beta$ и после упрощений 
положить $3\alpha\beta+p=0$

4) А полученную систему уравнений решить по теореме Виетта

{\bfseries 3. Метод Феррари}

Дано уравнение 4-ой степени

$$A_0x^4+A_1x^3+A_2x^2+A_3x^1+A_4=0$$

Цель: выделить полный квадрат

Подсказки:

1) Сделать уравнение приведённым (поделить на коэффициент при старшей степени) 

$$x^4+B_1x^3+B_2x^2+B_3x^1+B_4=0$$

2) Сделать замену $x=y+h$, подберите $h$ так, чтобы слагаемое при $y^3$ занулилось

$$y^4+py^2+qy^1+r=0$$

3) Выделить полный квадрат из слагаемых, содержащих $y^4$ и $y^2$

4) Добавим искусственный параметр $\alpha$ так, чтобы выделенный нами на предыдущем шаге полный квадрат
был x-ом в формуле $x^2+2x\alpha+\alpha^2$

5) Вновь получившийся полный квадрат = квадратному трёхчлену относительно $y$, подберите $\alpha$ так, 
чтобы стоящий справа квадратный трёхчлен был полным квадратом

6) Задача подбора $\alpha$ сводится к кубическому уравнению и решается по Формулам Тартальи-Кардано 

7) Подобрав такое $\alpha$ имеем равенства двух квадратов, из этого получаем разность квадратов 

{\bfseries 4. Теорема Гаусса (Основная теорема алгебры)}

Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами 
имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.\

Следствие: в виду теоремы Безу, которая позволяет поделить нацело многочлен на (x-корень) 
и получит в частном многочлен на единицу меньшей степени можно утверждать, что всякой уравнение
n-ой степени имеет ровно n корней над полем комплексных чисел.

{\bfseries 5. Теоремы Абеля-Галуа}

Корни уравнения степени выше 4-ой нельзя выразить в общем случае с помощью операций: +, -, *, /, $\sqrt[n]{a}$


\end{document}