\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}  %% 1
\usepackage[T2A]{fontenc}      %% 2
\usepackage[russian]{babel}    %% 3
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ - ПРАКТИКУМ}
\end{center}
\begin{center}
{\LARGE Листок 5}
\end{center}


{\bfseries 1. Дробно-рациональные} 

{\bfseries Упростить выражение} 

1) $(a-\frac{4a-9}{a-2}):(2a-\frac{2a}{a-2})$

2) $(\frac{2x}{2x+y}-\frac{4x^2}{4x^2+4xy+y^2}):(\frac{2x}{4x^2-y^2}+\frac{1}{y-2x})$

3) $(\frac{x+5y}{x^2-5xy}-\frac{x-5y}{x^2+5xy})(\frac{25y^2-x^2}{5y^2})$

4) $\frac{x-3}{4x^2+24x+36}:(\frac{x}{3x-9}-\frac{3}{x^2+3x}+\frac{x^2+9}{27-3x^2})$

5) $(\frac{c}{c-2}-\frac{c}{c+2}-\frac{c^2+4}{4-c^2})*\frac{(2-c)^2}{2c+c^2}$

6) $\frac{x+40}{x^3-16x}:(\frac{x-4}{3x^2+11x-4}-\frac{16}{16-x^2})$

7) $(\frac{a}{a^2-2a+1}-\frac{a+2}{a^2+a-2}):\frac{1}{(2a-2)^2}$

8) $\frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{b+c}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b+c}}*(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}):\frac{a-b-c}{abc}$ 

9) $\frac{\frac{a-b}{2a-b}-\frac{a^2+b^2+a}{2a^2+ab-b^2}}{(4b^4+4ab^2+a^2):(2b^2+a)}(b^2+b+ab+a)$ 

10) $(\frac{25}{b^2-5b+25}+\frac{2b}{5+b}-\frac{b^3-25b^2}{b^3+125})(b+5-\frac{15b}{b+5})\frac{1}{b+5}$

{\bfseries 2. С корнями} 

{\bfseries Упростить выражение} 

11) $\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{(a^\frac{1}{2}+b^\frac{1}{2})(a-b)}+\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{ab}}{a-b}$

12) $[\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-(\frac{a-b}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}})^{-1}]*\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{4\sqrt{ab}}$

13) $(\frac{1}{2+2\sqrt{a}}+\frac{1}{2-2\sqrt{a}}-\frac{a^2+1}{1-a^2})*(1+\frac{1}{a})$

14) $(\frac{1}{(\sqrt{a})^{-1}(\sqrt{a}-6)}-\frac{3}{\sqrt{a}+6}+\frac{a}{36-a})*(\frac{1}{\sqrt{a}-6})^{-1}$

15) $(\frac{a-a^{-2}}{a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}}-\frac{2}{a^{\frac{3}{2}}}-\frac{1-a^{-2}}{a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}})*\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}$

16) $(\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}}-\frac{1-\sqrt{1+x}}{1+x-\sqrt{1+x}})^2*\frac{x^2-1}{2}+\sqrt{1-x^2}$

17) $(\frac{x+\sqrt{x^2-4x}}{x-\sqrt{x^2-4x}}-\frac{x-\sqrt{x^2-4x}}{x+\sqrt{x^2-4x}}):\frac{\sqrt{x^2-4x}}{3}$

{\bfseries Домашняя работа} 

{\bfseries Упростить выражение} 

18) $\frac{2(x^4+4x^2-12)+x^4+11x^2+30}{x^2+6}$

19) $((\frac{x}{y-x})^{-2}-\frac{(x+y)^2-4xy}{x^2-xy})^2*\frac{x^4}{x^2y^2-y^4}$

20) $((\frac{1}{a}+\frac{1}{b+c}):(\frac{1}{a}-\frac{1}{b+c})):(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})$

21) $((\frac{x^2}{y^3}+\frac{1}{x}):(\frac{x}{y^2}-\frac{1}{y}+\frac{1}{x})):\frac{(x-y)^2+4xy}{1+yx^{-1}}$

22) $\frac{2b+a-\frac{4a^2-b^2}{a}}{b^3+2ab^2-3a^2b}*\frac{a^3b-2a^2b^2+ab^3}{a^2-b^2}$

23) $\frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{2c}{ab})(a+b+2c)}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{ab}-\frac{4c^2}{a^2b^2}}$

24) $(\frac{1}{t^2+3t+2}+\frac{2t}{t^2+4t+3}+\frac{1}{t^2+5t+6})^2*\frac{(t-3)^2+12t}{2}$

25) $\frac{(a-b)^2+ab}{(a+b)^2-ab}:\frac{a^5+b^5+a^2b^3+a^3b^2}{(a^3+b^3+a^2b+ab^2)(a^3-b^3)}$

26) $(\frac{9}{n^2+3n+9}-\frac{2n}{3-n}-\frac{n^3+15n^2}{n^3-27})*(n-3+\frac{9n}{n-3})*\frac{1}{n-3}$

27) $(\frac{16}{x^2-4x+16}+\frac{2x}{x+4}-\frac{x^3-20x^2}{x^3+64})*(x+4-\frac{12x}{x+4})*\frac{1}{x+4}$

28) $(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}):(a-b)+\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

29) $(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab})*(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b})^2$

30) $\frac{x^3+y^3}{x+y}:(x^2-y^2)+\frac{2y}{x+y}-\frac{xy}{x^2-y^2}$

31) $(1-a^2):[(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a})*(\frac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a})]-\frac{2}{1-a}$

32) $(\frac{a^3+2\sqrt{2}}{4a})^{-1}*(\frac{a}{2}+\frac{1}{a}-\frac{1}{\sqrt{2}})*(\frac{8}{a+\sqrt{2}})^{-1}$

33) $\frac{\sqrt{a}+a}{\sqrt{a}}-\frac{a-a^{-2}}{a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}}+\frac{1-a^{-2}}{a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}}+\frac{2}{a^{\frac{3}{2}}}$

34) $(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}})*\frac{a^{\frac{3}{2}}*b^{\frac{1}{2}}}{a+b}-\frac{2a}{a-b}$

35) $(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}})*\frac{x\sqrt{xy}}{x+y}-\frac{2y}{x-y}$

36) $\frac{x-2}{\sqrt{2}}*(\sqrt{2}+\sqrt{x}-\frac{x+6}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}):(x^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{2}})^2$

37) $((\frac{a^2-a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}+ab^{\frac{1}{2}}):(a+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}})-\sqrt{b})^2*\frac{1}{4a}$

38) $[(\frac{a+\sqrt[4]{ab^3}}{\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}}-\sqrt[4]{ab})-\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}]*(\sqrt[4]{ab})^{-1}$

39) $(\frac{(\sqrt{a}+1)^2-(a-\sqrt{ax}):(\sqrt{a}-\sqrt{x})}{(\sqrt{a}+1)^3-a\sqrt{a}+2})^{-3}$

{\bfseries 3. Продолжение}

40) Подсчитать $x^3+3x$, где $x=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\frac{1}{(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2})}$ 

2) $[\frac{a^2-b\sqrt{b}ab}{a-\sqrt{ab}}-\frac{1}{(a+b)^{-1}}]*2(ab)^{-\frac{1}{2}}$

41) $(\frac{a^2+3a\sqrt{ab}+3ab+b\sqrt{ab}}{a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}+b\sqrt{b}}-\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{b}})*a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$

42) $\frac{16\sqrt[3]{x^2}+72\sqrt[3]{xy}+81\sqrt[3]{y^2}}{56\sqrt[3]{x^2}+138\sqrt[3]{xy}+27\sqrt[3]{y^2}}:\frac{4\sqrt[3]{x}+9\sqrt[3]{y}}{28\sqrt[3]{x}+6\sqrt[3]{y}}$

43) $(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)$

44) Доказать, что выражение неотрицательно $(x-y)(x-y-6)+9$

45) Разложить $(a+b-2)(a+b)-(a-b)^2+1$

46) Упростить $(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)(a^16+b^16)(a^32+b^32)$, если $a=b+1$

47) Решить уравнение $x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx$

48) $\frac{x^{47}+x^{46}+...+x+1}{x^{15}+x^{14}+...+x+1}$

49) $[(1-\frac{1+z}{1+\sqrt[3]{z}}):(\sqrt{z}(1-\sqrt[3]{z}))-\frac{(1-z)(\sqrt[3]{z}-1)}{1+\sqrt{z}}]^3-z$

50) Найти все значения, удовлетворяющие равенству $(x-y+z)^2=x^2-y^2+z^2$

{\bfseries 4. Преобразование более сложных выражений}

51) $\sqrt{6m+2\sqrt{9m^2-n^2}}-\sqrt{6m-2\sqrt{9m^2-n^2}}-2\sqrt{3m-n}$

52) $\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}-3\sqrt{2}$

53) $\sqrt{57-40\sqrt{2}}-\sqrt{57+40\sqrt{2}}$

54) $\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}(2+\sqrt{3})$ 

55) $\frac{11-6\sqrt{2}}{\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}}+\sqrt{2}$

{\bfseries 5. Освобождение от иррациональности в знаменателе}

1) $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

2) $\frac{1}{\sqrt{a}}$

3) $\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$

4) $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt[3]{b}}$

5) $\frac{1}{1-\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

6) $\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}$

7) При каком значении $a$ выражение $\sqrt{\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}-\frac{3}{\sqrt{7}-2}+a}$ равно 0?

\end{document}