\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}  %% 1
\usepackage[T2A]{fontenc}      %% 2
\usepackage[russian]{babel}    %% 3
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE КВАДРАТ СУММЫ}\\
\end{center}
\begin{center}
{\LARGE Листок 2}
\end{center}

{\bfseries 1. Докажите равенство геометрически} \\{\bfseries $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$} 

Подсказки:

1) рассмотрите квадрат со стороной $a+b$ и посчитайте его площадь двумя способами: целиком и по частям

{\bfseries 2. Докажите равенство геометрически} \\{\bfseries $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$} 

{\bfseries 3. Найдите, чему равно $(a+b)^4=$}


Наблюдение:

Заметьте себе, что геометрический смысл равенства для четвёртой степени - это объём четырёхмерного куба. Там наше воображение отказывается нам помогать, а алгебраически по-прежнему можно посчитать!

{\bfseries 4. Выпишите друг под другом разложения 1-ой, 2-ой, 3-ей, 4-ой и 5-ой степеней суммы двух слагаемых}

1) Поймите закономерность поведения коэффициентов указанных разложений (Для этого ещё раз выпишите отдельно только коэффициенты указанных разложений).

2) Поймите, как ведут себя степени указанных разложений.

{\bfseries 5. Используя обнаруженные закономерности выпишите разложения}

1) $(a+b)^6=...$

2) $(a-b)^7=...$

Замечание: 

разложения вида $(a+b)^n=...$ называется БИНОМ НЬЮТОНА

{\bfseries 6.(*) Докажите, ПОЧЕМУ закономерности из пункта 4) РАБОТАЮТ }

{\bfseries 7.(*) Подсчитать сумму биномиальных коэффициентов в разложении Бинома Ньютона (когда имеется в виду сумма в n-ой степени)}

{\bfseries 8.(*) Докажите, что сумма коэффициентов на чётных местах равна сумме коэффициентов на нечётных местах}

{\bfseries 9. Докажите прямую теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (самой длиной его стороны) равен суммы квадратов катетов}

Укзание: смотри! рис 1.

{\bfseries 10. (*)Докажите обратную теорему Пифагора: если квадрат гипотенузы равне сумме квадратов катетов, то треугольник прямоугольный}

Замечание: Эта теорема нужна, чтобы строить прямой угол в природе. Например, достаточно взять 3 палки с длинами 3,4,5, тогда $3^2+4^2=5^2$. И получится прямой угол.

{\bfseries 11. Целые числа, удовлетворяющие равенству $x^2+y^2=z^2$ называются пифагоровы тройки}

Пифагоровы тройки можно получить из следующего равенства, подставляя различные m и n

$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$

{\bfseries 12.(*)(*)(*) Великая теорема Ферма}

a) $x^3+y^3=z^3$, не имеет решений в целых числах

б) $x^4+y^4=z^4$, не имеет решений в целых числах

в) $x^n+y^n=z^n$, где n>2 не имеет решений в целых числах

{\bfseries 13.Рождение иррациональных чисел}

Рассмотрите квадрат со стороной один. Найдите длину его диагонали. Докажите, что длина диагонали квадрата - число
иррациональное (не представимо в виде $\frac{p}{q}$, гду p - целое, q - натуральное)

{\bfseries 14.(*)Сколько рациональных слагаемых содержится в разложении}

а) $(\sqrt{2}+3^{\frac{1}{4}})^{100}=...$

б) $(\sqrt{2}+3^{\frac{1}{3}})^{300}=...$

{\bfseries 15.(*)}

Доказать, что значение выражения $96^7-22^5-48^6$ кратно 10. 

\end{document}