\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}  %% 1
\usepackage[T2A]{fontenc}      %% 2
\usepackage[russian]{babel}    %% 3
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Распределительный закон для чисел}\\
\end{center}
\begin{center}
{\LARGE Листок 1}\\
\end{center}

{\bfseries 1.(!!!)Докажите, обоснуйте равенство} \\{\bfseries \LARGE $a*(b+c)=a*b+a*c$} 

Подсказки:

1) подставьте числа вместо букв и поймите, что происходит с числами

Подсказка: Подставьте, например, (5+3)*7=5*7+3*7 и поймите смысл указанного равенства

2) поймите геометрический смысл доказываемого равенства. 

Подсказка: Подсчитайте площадь прямоугольника со сторонами B+C и A двумя способами (целиком и по частям)

Примечание:

Указанное равенство лежит в основе ВСЕХ формул школьной алгебры и иначе ещё называется "правило раскрытия скобок". Можно ещё помнить это так: мама "a" кормит каждого сына "b" и "c"

{\bfseries 2. Раскрыть скобки}

1) $5x(x-2)=...$

2) $(x^2+3xy)(2+7x+y)=...$

{\bfseries 3. Разложение на множители=приведение подобных}

1) $7x-3x=...$ (этот вид разложения называется <<приведение подобных слагаемых>> , <<подобными>> называются одночлены с одинаковой буквенной частью)

2) $55x^{127}yz^2 - 8z^2yx^{127}+yz^2x^{127}=...$

{\bfseries 4. Привести подобные слагаемые}

1) $2a+b-a+10b+1=...$

2) $7x-2y=...$ (если буквенная часть не совпадает, то складывать нельзя)

3) $5a^2b+7+x^2y-8ba^2+10xy=...$

{\bfseries 5. Раскрытие скобок и приведение подобных}

1) $(2a+b)(5b-8a)=...$

2) $(-2a+b-2ab)(11a-3ab)=...$

{\bfseries 6. Разложение на множители}

1) $5x^2y+2yx^2z=...$

2) $8a^2b^3c+3a^2cb^2-b^3a^2c=...$

3) $a^{-5}+a^{-3}=...$

{\bfseries 7. Метод группировки для разложения на множители}

1) ax+2yb+xb+2ya=...

2) 14xy-15-21x+10y=...

3) 2az+z-4a+zb-2-2b=...

{\bfseries 8.(!!!)Квадрат суммы и разности (разложить на множители методом группировки)}

1) $x^2+2xy+y^2=...$

2) $x^2-2xy+y^2=...$

3) $a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=...$

{\bfseries 9. Метод группировки с добавлением фиктивных (виртуальных) слагаемых для разложения на множители: надо прибавить и отнять одно и то же искуственно придуманное слагаемое, чтобы с ними возможно было проделать обычный метод группировки}

1)(!!!)$x^2-y^2=...$ (Разность квадратов)

2)(!!!)$x^3-y^3=...$ (Разность кубов)

3)(!!!)$x^3+y^3=...$ (Сумма кубов)

4)(*)$x^5-y^5=...$ (Разность пятых степеней)

{\bfseries 10. Метод группировки с добавлением фиктивных (виртуальных) слагаемых для СУММ КВАДРАТОВ}

1)Докажите, что произведение суммы 2-х квадратов на сумму 2-х квадратов есть снова сумма 2-х квадратов, т.е.
$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(?_1)^2+(?_2)^2$$

например, вот так:

$$(17^2+3^2)(8^2+11^2)=103^2+211^2$$

Подсказка: квадраты конструировать с помощью формул $$a^2+2*a*b+b^2=(a+b)^2$$

2)(*)Докажите, что произведение суммы 4-х квадратов на сумму 4-х квадратов есть снова сумма 4-х квадратов, т.е.
$$(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+p^2)=(?_1)^2+(?_2)^2+(?_3)^2+(?_4)^2$$

Подсказка: квадраты конструировать с помощью формул $$a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd=(a+b+c+d)^2$$

3)(**)Докажите, что произведение суммы 8-и квадратов на сумму 8-и квадратов есть снова сумма 8-и квадратов, т.е.

$(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+u^2+t^2+s^2)(x^2+y^2+z^2+p^2+k^2+j^2+n^2+m^2)=
(?_1)^2+(?_2)^2+(?_3)^2+(?_4)^2+(?_5)^2+(?_6)^2+(?_7)^2+(?_8)^2$

Подсказка: квадраты конструировать с помощью формул $$(a+b+c+d+e+f+g+h)^2=...$$

Примечание 1:

Для 16-и квадратов неверно.

Примечание 2:

Формулы из задачи 10 можно доказать легче, чем с помошью группировки - с помощью гиперкомплексных чисел. Случай 2-х квадратов - комплексные числа, 4-х - кватернионы, 8-и - октавы. 

Примечание 3:

Теорема о невозможности 16-и: теорема Фробениуса

{\bfseries 11. Куб суммы и разности}

1)(!!!) $x^3+3x^2y+3y^2x+y^3=...$

2)(!!!) $x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=...$

{\bfseries 12. Некоторые более сложные примеры}

Разложить на множители

1)(*) $x^4+4=...$

2)(*) $2bc+a^2-b^2-c^2=...$

3)(*) $x^4-21x^2+4=...$

4)(**) $x^3+y^3+z^3-3xyz=...$

5)(*) $(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=...$

6)(*) $x^4+x^2y^2+y^4=...$

7)(*) $a^4-2a^3+a^2-1=...$

8)(*) $c^8-c^4-2c^2-1=...$

9)(*) $8x^3+y^3+6y^2+12y+8=...$

{\bfseries 13. Волшебный автомат}

В четырёх ячейках памяти игрального автомата записаны числа a, b, c, d. Автомат может сложить или
вычесть два числа (бесплатно) или перемножить их (за 1 рубль); результат он записывает в новую 
ячейку. Может ли игрок, потратив всего три рубля, добиться того, что каких-то трёх ячейках будут
записаны числа 2(ab+cd), 2(ac+bd) и 2(ad+bc)? (Исходные числа игроку неизвестны).

{\bfseries ЗАМЕЧАНИЕ: Нельзя разложить на множители выражения следующего вида}

1) $a+b$

2) $a-b$

3) $a^2+b^2$ (сумму квадратов и вообще сумму чётных степеней)

4) $a^2+ab+b^2$ (неполный квадрат суммы)

5) $a^2-ab+b^2$ (неполный квадрат разности)

6) $a^2+b^3$

\end{document}