\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}  %% 1
\usepackage[T2A]{fontenc}      %% 2
\usepackage[russian]{babel}    %% 3
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ - ЛИСТОК 8}
\end{center}

{\bfseries 1. Общий метод решения}

$$
\frac{A}{B}=0 \Leftrightarrow 
\begin{cases}
A=0, \\
B \ne 0. \\
\end{cases}
$$

Подробный алгоритм\\\\

\begin{tabular}{lc}
1) Правильно списать пример &
$\frac{2x+2}{x^2-4x-5}-\frac{4}{x+5}=\frac{-3}{25-x^2}$ \\\\

2) Перенести все слагаемые влево ...=0 & 
$\frac{2x+2}{x^2-4x-5}-\frac{4}{x+5}+\frac{3}{25-x^2}=0$ \\\\

3) Разложить каждый знаменатель на множители \\ $\frac{A}{()()}$+$\frac{B}{()()}$+...=0 &
$\frac{2x+2}{(x-5)(x+1)}-\frac{4}{x+5}+\frac{3}{(5-x)(5+x)}=0$ \\\\

4) Разложить числитель на множители и \\сократить где это возможно со знаменателями &
$\frac{2(x+1)}{(x-5)(x+1)}-\frac{4}{x+5}+\frac{3}{(5-x)(5+x)}=0$ \\\\

5) Сделать множители в знаменателях одинаковыми &
$\frac{2}{x-5}-\frac{4}{x+5}-\frac{3}{(x-5)(5+x)}=0$ \\\\

6) Составить общий знаменатель\\ и найти дополнительный множитель каждому числителю &
$\frac{2(x+5)-4(x-5)-3*1)}{(x-5)(x+5)}=0$ \\\\

7) Раскрыть скобки в числителе \\
 и привести подобные слагаемые &
$\frac{2x+10-4x+20-3}{(x-5)(x+5)}=0$ \\\\

8) Разложить числитель на множители \\и сократить со знаменателем &
$\frac{-2x+27}{(x-5)(x+5)}=0$ \\\\

9) Применить условие равенства дроби 0\\
$
\frac{A}{B}=0 \Leftrightarrow 
\begin{cases}
A=0, \\
B \ne 0. \\
\end{cases}
$

&

$
\begin{cases}
-2x+27=0, (1), \\
(x-5)(x+5) \ne 0. (2) \\
\end{cases}
$\\\\

10) Решить уравнение
&
$-2x+27=0$\\&
$-2x=-27$\\&
$x=\frac{27}{2}$\\

11) Проверить полученные корни уравнения\\ 
на выполнения условия (2)
&
при $x=\frac{27}{2}$ условие\\& $(x-5)(x+5) \ne 0$ выполнено\\\\

12) Записать ответ & Ответ: $\frac{27}{2};$\\\\

\end{tabular}

{\bfseries 2. Решить дробно-рациональное уравнение}

1) $\frac{x^2-2x}{x-1}-\frac{2x-1}{1-x}=3$

Ответ: 2;

1.5) $\frac{2x-5}{x+5}+\frac{3x+4}{x+2}=1$

Ответ: $0; -\frac{11}{4}$

2) $\frac{2x-5}{3x+1}+\frac{21x+7}{2x-5}=8$

Ответ: $-6;-\frac{12}{19}$

2.5) $\frac{x^2-2x}{4x-3}+5=\frac{16x-12}{2x-x^2}$

Ответ: $1;-3;-7\pm\sqrt{61}$

3) $\frac{x+3}{4x^2-9}-\frac{3-x}{4x^2+12x+9}=\frac{2}{2x-3}$

Ответ: 0;-6;

3.5) $\frac{30}{x^2-1}+\frac{7-18x}{x^3+1}=\frac{13}{x^2-x+1}$

Ответ: 4;-9;

4) $\frac{2x-7}{x^2-9x+14}-\frac{1}{x^2-3x+2}=\frac{-1}{1-x}$

Ответ: 0;

4.5) $\frac{2x+7}{x^2+5x-6}+\frac{3}{x^2+9x+18}=\frac{1}{x+3}$

Ответ: -8;

5) $\frac{16}{(x+6)(x-1)}-\frac{20}{(x+2)(x+3)}=1$

Ответ: -7;2;

5.5) $\frac{6}{(x+1)(x+2)}+\frac{8}{(x-1)(x+4)}=1$

Ответ: $0;-3;\frac{-3\pm\sqrt{73}}{2}$

6) $\frac{24x}{2x^2-3x+4}=\frac{12x}{x^2+x+2}+5$

Сокращаем дроби на x (числитель и знаменатель)

$\frac{24x}{2x^2-3x+4}=\frac{24}{2x-3+\frac{4}{x}}$

$\frac{24x}{2x^2-3x+4}=\frac{24}{2x-3+\frac{4}{x}}$

Замена $x+\frac{2}{x}=t$

Ответ: 1;2.

6.5) $\frac{4x}{x^2+x+3}+\frac{5x}{x^2-5x+3}=-\frac{3}{2}$

Ответ: $-\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}$

7) $(\frac{x+1}{x-2})^2+\frac{x+1}{x-4}=12*(\frac{x-2}{x-4})^2$

Делим на $(\frac{x-2}{x-4})^2$ обе части

Делаем замену $t=\frac{(x+1)(x-4)}{(x-2)^2}$

Ответ: 3, $\frac{4}{5}$

8) $\frac{3}{x^2-4x+1}-x^2=3-4x$

Ответ: 0;2;4;

9) $\frac{x^2-10x+15}{x^2-6x+15}=\frac{3x}{x^2-8x+15}$

Ответ: $7\pm\sqrt{34};$

{\bfseries 3. Выделение целой части}

$$\frac{x^2+2x+2}{x+1}+\frac{x^2+8x+20}{x+4}=\frac{x^2+4x+6}{x+2}+\frac{x^2+6x+12}{x+3}$$

Ответ: $0;-\frac{5}{2}$

{\bfseries 4. Использование МНК (метода неопределённых коэффициентов) для разбиения слагаемого}

$$\frac{x+6}{x-6}*(\frac{x-4}{x+4})^2+\frac{x-6}{x+6}*(\frac{x+9}{x-9})^2=2*\frac{x^2+36}{x^2-36}$$

Указание:

Разбить $2*\frac{x^2+36}{x^2-36}=\frac{\alpha x+\beta}{x-6}+\frac{\gamma x + \theta}{x+6}$

и положить для симметрии $\alpha=\gamma=1$

Ответ: $0;\frac{6+-\sqrt{936}}{5}$

\end{document}