\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}  %% 1
\usepackage[T2A]{fontenc}      %% 2
\usepackage[russian]{babel}    %% 3
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ}
\end{center}
\begin{center}
{\LARGE Листок 6}
\end{center}


{\bfseries 1. Группировка} 

1) $x^3+x^2-4x-4=0$

Ответ: $2;-2;-1;$

2) $3x^3+5x^2+5x+3=0$

Ответ: $-1;$ 

3) $x^4+2x^3-x-2=0$

Ответ: $-2;1;$ 

4) $x^3-x^2-81x+81=0$

Ответ: $-9;1;9;$ 

5) $x^3+3x^2-16x-48=0$

Ответ: $-3;4;-4;$ 

6) $2x^4+3x^3+16x+24=0$

Ответ: $-2;-\frac{3}{2};$ 

7) $24x^4+16x^3-3x-2=0$

Ответ: $-\frac{2}{3};\frac{1}{2};$ 

8) $x^3+5x^2+15x+27=0$ 

Ответ: $-3;$ 

9) $8x^3-6x^2+3x-1=0$ 

Ответ: $\frac{1}{2};$ 

{\bfseries 2. Раскрытие квадратов}

$(x+1)^2(x+2)+(x-1)^2(x-2)=12$

Ответ: $1;1-\sqrt{3};1+\sqrt{3};$ 

{\bfseries 3. Сворачивание кубов}

1) $28x^3+3x^2+3x+1=0$

Ответ: $-\frac{1}{4};$

2) $126x^3-3x^2+3x-1=0$

Ответ: $\frac{1}{6};$

{\bfseries 4. Разложение на множители квадратных трёхчленов}

1) $(x^2+4x)(x^2+x-6)=(x^3-9x)(x^2+2x-8)$

Ответ: $0;-4;2;-3;4;$

2) $(x^2+5x)(x^2-3x-28)=(x^3-16x)(x^2-2x-35)$

Ответ: $0;-5;7;-3;4;$

{\bfseries 5. Перемножалка}

1) $(x^2-3x)(x-1)(x-2)=24$

Ответ: $-1;4;$

2) $(x^2-5x)(x+3)(x-8)+108=0$

Ответ: $-1;6;\frac{5+\sqrt{97}}{2};\frac{5-\sqrt{97}}{2};$

3) $(x+4)^2(x+10)(x-2)+243=0$

Ответ: $-1;-7;-4+3\sqrt{3};-4-3\sqrt{3};$

4) $x(x+3)(x+5)(x+8)+56=0$

Ответ: $-1;-7;-4+2\sqrt{2};-4-2\sqrt{2};$

5) $(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)=1680$

Ответ: $-2;11;$

6) $(x-2)(x-3)^2(x-4)=20$

Ответ: $3+\sqrt{5};3-\sqrt{5};$

7) $(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)=24$

Ответ: $0;5;$

{\bfseries 6. Биквадратные уравнения}

1) $25x^4+66x^2-27=0$

2) $x^6+9x^3+8=0$

{\bfseries 7. Разбиение отдельных членов на слагаемые (как буквенных, так и числовых)}

1) $x^3+1991x+1992=0$

Ответ: $-1;$

2) $x^3-3x^2+2=0$

Ответ: $1;1+\sqrt{3};1-\sqrt{3};$

3) $x^4-x^3-13x^2+x+12=0$

Ответ: $-1;4;-3;$

4) $x^3+4x^2-5=0$

Ответ: $1;\frac{-5+\sqrt{5}}{2};\frac{-5-\sqrt{5}}{2};$

5) $x^4-x^3-7x^2+x+6=0$

Ответ: $-1;1;3;-2;$

{\bfseries 8. Возвратные уравнения 4-ой степени}

$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$$

если $\frac{e}{a}=(\frac{d}{b})^2$, то делим уравнение на $x^2$ и делаем замену

1) $x^4-7x^3+14x^2-7x+1=0$

Ответ: $\frac{3+\sqrt{5}}{2};\frac{3-\sqrt{5}}{2};2+\sqrt{3};2-\sqrt{3};$

2) $18x^4-3x^3-25x^2+2x+8=0$

Ответ: $\frac{-1+\sqrt{97}}{12};\frac{-1-\sqrt{97}}{12};1;-\frac{2}{3};$

{\bfseries 9. Однородные уравения}

Однородные уравнения - это уравнения, все члены которых имеют одинаковую степень,а справа 0.

Уравнение вида $Au^2+Buv+Cv^2=0$ называется однородным уравнением II-ой степени относительно U и V.

Проверяем возможность деления на U и V.

Делим на $U^2 (V^2)$

$AU^2+BUV+CV^2=0$ делим на $U ^2 (U != 0)$, получаем

$A+\frac{BV}{U}+\frac{CV^2}{U^2}=0$

Пусть $\frac{V}{U}=y$, тогда $\frac{V^2}{U^2}=y^2$, получаем ур-ие:

$A+By+Cy^2=0$

Обратная замена

Задачи на однородные уравнения

1) $(x^2-x+1)^4-10x^2(x^2-x+1)^2+9x^4=0$

Ответ: $1;-1;2+\sqrt{3};2-\sqrt{3};$

2) $2(x-1)^4-5(x^2-3x+2)^2+2(x-2)^4=0$

Ответ: $3+\sqrt{2};3-\sqrt{2};+\sqrt{2};-\sqrt{2};$

{\bfseries 10. Теорема Безу и деление в столбик многочленов}

Формулировка: 

При делении многочлена n-ой степени относительно x,
расположенного по убывающим степения x, на двучлен (x-a) остаток
от деления равени значению делимого при x=a

Доказательство: 

Поделим многочлен P(x) на (x-a), получим P(x)=(x-a)Q(x)+R(x), но
R(x) имеет степень меньше многочлена (x-a) в силу того, что R(x) - остаток. 
(иначе кусок R(x) можно было бы включить в Q(x). А значит R(x) - просто число.
Подставляем x=a в формулу P(x)=(x-a)Q(x)+R(x), получаем 
P(a)=(a-a)Q(x)+R=R, теорема доказана

Задача 1

Найти остаток от деления $x^3+5x^2-6x-6=0$ на двучлен (x-2)

а) уголком

б) по теореме Безу

Следствия из теоремы Безу

I. Если многочлен делится без остатка на (x-a), то a-корень этого многочлена

II. Если a-корень многочлена, то он обязательно делится без остатка на (x-a)

Задача 2

Используя Следствие II из теоремы Безу решить следующие задачи (разложить на 
множители) ИЗ ПЕРВОГО ЛИСТКА

1) $(x^2+2xy+y^2)$

2) $(x^2-2xy+y^2)$

3) $(x^2-y^2)$

4) $(x^3-y^3)$

5) $(x^3+y^3)$

6) $(x^5-y^5)$

7) $(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3)$

{\bfseries 11. Рациональные корни многочлена}

Формулировка

В многочлене вида $A_nx^n+A_{n-1}x^{n-1}+...+A_1x^1+A_0=0, где A_n!=0$

Рациональные корни следует искать только среди чисел вида + или - $\frac{B_0}{B_n}$, 
где $B_0$ - делитель $A_0$ и $B_n$ - делитель $A_n$

Доказательство

Лемма 1

Если приведенное уравнение $x^n+k_{n-1}x^{n-1}+...+k_1x^1+k_0=0$ имеет целый корень, то
он обязательно будет делителем свободного члена $k_n$

Лемма 2

Приведенное уравнение $x^n+k_{n-1}x^{n-1}+...+k_1x^1+k_0=0$ не может иметь ни одного дробного корня.

Задача 1

Найти рациональные корни многочленов

1) $2x^3-7x^2+5x-1=0$

Ответ: $\frac{1}{2};\frac{3+\sqrt{5}}{2};\frac{3-\sqrt{5}}{2};$

2) $x^3-3x-2=0$

Ответ: $-1;2;$

Задача 2

Решить уравнения УГОЛКОМ

1) $x^4-27x^2-14x+120=0$

Ответ: $-3;2;5;-4;$

2) $x^4-5x^3+10x^2-10x+4=0$

Ответ: $1;2;$

3) $x^4-4x^2+6x-4=0$

{\bfseries 12. Схема Горнера [нахождение остатка от деления многочлена P(x) на (x-a) без самого деления)]}

$$x^3-3x-2=0$$

{\bfseries 13. Деление на $x^2$}

1) $(2x^2-3x+1)(2x^2+5x+1)=9x^2$

Ответ: $\frac{2+\sqrt{2}}{2};\frac{2-\sqrt{2}}{2};\frac{-3+\sqrt{7}}{2};\frac{-3-\sqrt{7}}{2};$

2) $(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x^2$

Ответ: $-4;-6;\frac{-15-\sqrt{129}}{2};\frac{-15+\sqrt{129}}{2};$

{\bfseries 14. Обобщённая Теорема Виетта}



{\bfseries 15. Замена}

1) $(x^2-6x)^2-2(x-3)^2=81$

Ответ: $3;3+2\sqrt{5};3-2\sqrt{5};$

2) $(x^2-2x)^2-3x^2+6x-4=0$

3) $(2x^2+3x-1)^2-10x^2-15x+9=0$

4) $(x^2-3x)^2-14x^2+42x+40=0$

{\bfseries 16. Сдвиг оси}

$(6x+5)^2(3x+2)(x+1)=35$

Ответ: $\frac{-5+\sqrt{21}}{6};\frac{-5-\sqrt{21}}{6};$

{\bfseries 17. Уравнение с параметрами}

$x^4-3x^2+2(a-1)x+2a-a^2=0$

{\bfseries 18. Неполная замена аргументов}

$(x^2-x+1)^4-6x^2(x^2-x+1)^2+5x^4=0$

Ответ: $1;\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2};\frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2};$

{\bfseries 19. Сворачивание биномиальных формул}

$x^5-35x^4+490x^3-3430x^2+12005x-16807=0$

Ответ: $7;$

{\bfseries 20. Нахождение иррациональных корней с допущениями}

$3x^3+5x^2-9x-2=0$

{\bfseries 21. Тригонометрическая подстановка: сколько корней имеет 
уравнение на отрезке по x: [0;1]}

$8x(1-2x^2)(8x^4-8x^2+1)=1$

Ответ: 4 корня;

{\bfseries 22. Уравнения с иррациональными коэффициентами}

$2t^3-3\sqrt{3}t^2+3\sqrt{3}=0$

{\bfseries 23. Использование Бинома Ньютона}

1) $(x+2)^3+x^2=28$

Ответ: $1;$

2) $x^4+(x-1)^4=17$

Ответ: $-1;2;$

{\bfseries 24. Подстановка среднего арифметического}

$(x+1)^4+(x+3)^4=16$

Ответ: $-1;-3;$

{\bfseries 25. Подстановка среднего арифметического и доказательство о несуществовании корней}

$x^5+(x-2)^5=32$

Ответ: $2;$

{\bfseries 26. Выделение целой части}

$\frac{x^2+2x+2}{x+1}+\frac{x^2+8x+20}{x+4}=\frac{x^2+4x+6}{x+2}+\frac{x^2+6x+12}{x+3}$

Ответ: $0;-\frac{5}{2};$

{\bfseries 27. Использование МНК (метода неопределённых коэффициентов) для разбиения слагаемого}

$\frac{x+6}{x-6}(\frac{x-4}{x+4})^2+\frac{x-6}{x+6}(\frac{x+9}{x-9})^2=2*\frac{x^2+36}{x^2-36}$

Ответ: $0;\frac{6+\sqrt{936}}{5};\frac{6-\sqrt{936}}{5};$

\end{document}