\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}  %% 1
\usepackage[T2A]{fontenc}      %% 2
\usepackage[russian]{babel}    %% 3
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ \\$a*x^2+b*x+c=0$}\\
\end{center}
\begin{center}
{\LARGE Листок 3}
\end{center}

{\bfseries 1. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям}

1) Геометрия прямоугольного треугольника

Дан прямоугольный треугольный со сторонами, $x+1$, $x+2$, $x+3$. Найти длины сторон 
данного треугольника. 

2) (*) Золотое сечение - деление целого на две части так, что меньшая относится к большей, как большая к целому.

Разделить отрезок длины 1 на 2-е части в пропорциях золотого сечения.

{\bfseries 2. Решить уравнение (без использования формулы дискриминанта и прочих умных теорем)}

Для решения нижеизложенных уравнений да помогут вам 2-е великие формулы

$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$$

$$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$$

1) $x^2+2*x+1=0$

2) $x^2-6*x+9=0$

3) $x^2+10*x+25=0$

4) $x^2-10*x+16=0$

5) $x^2-10*x+34=0$

6) $x^2-10*x+10=0$

7) $4x^2-12*x+9=0$

8) $25x^2-10*x+10=0$

9) $16x^2-24*x+10=0$

10) $2x^2-8*x+8=0$

11) $2x^2-12*x+18=0$

12) $27x^2-18*x+12=0$

13) $4x^2-24*x+36=0$

14) $4x^2-24*x+20=0$

15) $3x^2-12*x-4=0$

16) $3x^2-15*x-4=0$

17) $3x^2-15*x-27=0$

18) (!!!)(*) $a*x^2+b*x+c=0$

{\bfseries 3. (!!!) Дискриминант}

1) Понять, что такое дискриминант и откуда он такой берётся 

$$D=b^2-4ac$$

2) Понять как и почему от значения дискриминанта зависит количество и состав корней уравнения

{\bfseries 4. Задачи на решение квадратных уравнений через дискриминант}

1) $2*x^2-3*x-5=0$

2) $-x^2+0.1=0.9*x$

3) $2*x^2-10*x+90=0$

4) Решить уравнение золотого сечения $x^2-3*x+1=0$

{\bfseries 5. (!!!) Формулы чётного коэффициента b} 

Вывести формулу решения квадратного уравнения в случае, если коэффициент b - чётный, т.е. b=2k

$$a*x^2+2k*x+c=0$$

{\bfseries 6. Задачи на решение квадратных уравнений через половинный дискриминант}

1) $3*x^2-20*x+12=0$

2) $5*x^2+22*x-15=0$

{\bfseries 7. (!!!) Разложение квадратного уравнения на множители}

Докажите, что если квадратное уравнение $a*x^2+b*x+c=0$ имеет корни $x_1$, $x_2$, то верно 
разложение $$a*x^2+b*x+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$

{\bfseries 8. (!!!) Теорема Виетта}

Пользуясь результатом предыдущей задачи, покажите, что если нам известны корни $x_1$, $x_2$ 
квадратного уравнения $a*x^2+b*x+c=0$, то 

$$c/a=x_1*x_2$$

$$b/a=-(x_1+x_2)$$

{\bfseries 9. Задачи на решение квадратных уравнений через Теорему Виетта}

Теорема Виетта позволяет угадывать корни квадратного уравнения, не решая само уравнение

1) $x^2-2*x-15=0$

2) $x^2-5*x+6=0$

3) $x^2+6*x-91=0$

4) $x^2-*x-56=0$

5) $2*x^2+2*x-3=0$

Не решая уравнения, найдите:

а) $x_1+x_2$

б) $x_1*x_2$

в) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1}$

г) $x_1^2+x_2^2$

д) $x_1^2*x_2+x_1*x_2^2$

е) $x_1^3+x_2^3$

ж) $x_1^4+x_2^4$

где $x_1$ и $x_2$ - корни уравнения

{\bfseries 10. (!!!) Доказать теорему о сумме коэффициентов }

Если сумма коэффициентов квадратного уравнения $a*x^2+b*x+c=0$ равна нулю, т.е.
$a+b+c=0$, то один из корней равен 1, а другой $c/a$

{\bfseries 11. Задачи на решение квадратных уравнений через теорему о сумме коэффициентов }

1) $3*x^2-2*x-1=0$

2) $5*x^2+2*x+7=0$

3) $x^2-10*x+9=0$

{\bfseries 12. Экстремальные свойства квадратного уравнения }

а) Задача про забор: Вы отгораживаете себе на берегу реки участок прямоугольной
формы забором. При этом забор идёт только с 3-х сторон участка (со стороны реки забора нет). У Вас есть забор длины 100 метров. Как отгородить участок
наибольшей площади?

б)  Доказать, что при $x=-\frac{b}{2*a}$ достигается экстремум квадратного
трёхчлена

в)  Число 14 требуется разбить на три части так, чтобы вторая часть была вдвое больше первой и чтобы сумма квадратов всех
трёх частей имела наименьшее значение.

г)  Разделить данное число 18 на два слагаемых так, чтобы их произведение оказалось наибольшим.

{\bfseries 13. Биквадратные уравнения }

1) $25*x^4-109*x^2+36=0$

2) $x^4+5*x^2+6=0$

{\bfseries 14. Плюс 5 пунктов к Вашему устному счёту }

Найдите квадраты следующих чисел 15,25,35,45,55,65,75,85,95

Посмотрите на результаты, поймите закономерность, позволяющую вычислять эти квадраты быстрее, чем в столбик

{\bfseries 15. Извлечение квадратного корня в столбик }

1) Подсчитайте корень из 1156

2) Подсчитайте корень из двух до 4-ого знака после запятой.

3) Решите квадратное уравнение $56*x^2+138*x+27=0$.

4) (*) Обосновать алгоритм извлечения квадратного корня в столбик.

\end{document}